使用初中数学计算一个强化次数问题的精确解

发表于2020-02-24
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参考资料:https://gameinstitute.qq.com/community/detail/109361

 

游戏数值策划的工作内容是游戏中所有跟数字相关的表格填写(包括物品ID和敌人ID)。通俗点说,团队遇到的数值问题,都需要你来解决。

 

如果一个有志于进入数值岗位的策划,辛辛苦苦学会了战斗数值和经济数值的框架搭建,胜任了99%的计算内容的工作用例(不考虑设计部分),但是却不会求解一些游戏设计中常见的数学问题,解决不了剩下的1%的问题而被人吐槽,是一个很郁闷的事情。今天我分享的内容,就属于那剩下的1%里的一小部分

 

具体问题在这里:https://gameinstitute.qq.com/community/detail/109361

 

大家可以不知其所以然,只要能知其然地会用上面帖子里提到的工具,一步步照着来,就可以得出答案。但出于以下几个原因,我用本文对上帖做一些补充:

 

1,知其然并知其所以然地解决这个问题,让读者看完觉得:“都不用你说,这个问题我初中就会了”,那就最好了。

2,只使用初中数学知识。

3,给出计算精确解的方法,避免对结果的争论。

4,增加一种新的解决问题的方法,也就是原贴回复中提到的“递推公式”,可以与其他方法相互印证。我这里只讲方法,不做具体计算。读者可以自行算出精确解。

 

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引理1:

解决一个问题需要N次,已经尝试了1次,还需要M次。那么有如下等式成立

N=1+M

这个道理说起来很简单:处理一个问题需要尝试8次才能成功,已经尝试了1次,还需要尝试7次

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引理2:

解决一个问题,有20%的概率需要N次,有80%的概率需要M次,那么平均需要 0.2N+0.8M 次才能解决

这是概率论里求期望值的一个简单公式,用初中数学也是可以理解的:

解决一个问题100回,其中有20回用了N次尝试才解决,有80回用了M次尝试才解决。

那么只解决一回这个问题,平均需要的尝试次数是(20*N+80*N)/100,也就是需要 0.2N+0.8M 次

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引理3:

用变量(X1-2)表示从1强化到2需要的次数。

用变量(X1-10)表示从1强化到10需要的次数。:

根据题目可以知道有如下等式成立:(X1-10)=(X1-2)+(X2-3)+(X3-4)+(X4-5)+(X5-6)+(X6-7)+(X7-8)+(X8-9)+(X9-10)

 

题目中没有强化跳跃的现象,也就是不能从1级直接强化到3级,所以上式成立。1级如果强化到了3级,那一定是1级在某个过程中先强化到2级,2级再到3级。

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如果上述3个引理大家都理解了,这个问题就可以解决了。

先看一个等式:

 

(X1-2)=1+0.7(X2-2)+0.3(X1-2)

 

这个等式解读如下:

从1强化到2级,需要(X1-2)次,强化1次之后,会进入一种“概率状态”,这个“概率状态”是由70%的2级和30%的1级构成的。

根据引理2,这个“概率状态”强化到2级需要的次数是0.7*(X2-2)+0.3*(X1-2)。

 

1级强化到2级,总共需要(X1-2)次,强化了一次之后,需要0.7(X2-2)+0.3(X1-2)次,所以根据引理1,有(X1-2)=1+0.7(X2-2)+0.3(X1-2)

 

(X2-2)实际上就是从2级到2级需要的强化次数,也就是0.

 

所以有等式

 

(X1-2)=1+0+0.3(X1-2)

0.7(X1-2)=1

(X1-2)=10/7

 

为了求精确解,这里使用分数,不要使用小数。1级强化到2级,需要10/7次。

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2级强化到3级需要的次数也可以列出一个等式

(X2-3)=1+0.6*(X3-3)+0.4*(X1-3)

根据引理3,(X1-3)=(X1-2)+(X2-3)。所以

(X2-3)=1+0.6*0+0.4*((X1-2)+(X2-3))

其中(X1-2)=10/7

所以

(X2-3)=1+0.4*(10/7+(X2-3))

0.6*(X2-3)=11/7

(X2-3)=55/21

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剩下的就不写了,一个比较简单的方程组,可以不停的使用消元法,也可以使用时间复杂度更大但是在这个问题上也看不出来克莱姆法则。

 

封面图是百度百科对高斯消元法的截图的一部分,发帖要求必须有封面图,临时截图贴上去的,如果有侵权请联系我删除

 

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