normal mapping中TBN矩阵的思考

发表于2018-05-21
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学习法线贴图(normal mapping)的过程中,最关键的一个矩阵就是TBN矩阵,该矩阵用于将存储在纹理空间中的法向量转换到模型空间中(实际使用相反,为了减少计算量,是将光线从模型空间转换到了纹理空间,然后计算反射光线,因为光线条数远远少于法向量数目)。

下图展示法线贴图的含义,图中的蓝色部分为一块法线纹理,上面的黑色小木棒(纯手工绘图)是每个像素的rgb代表的法线向量。就像一块海绵上插了无数歪歪扭扭的针一样……这样当计算反射光线时,这些法向量模拟凹凸不平的表面,最后产生真实的感觉。

首先考虑向量空间中坐标表示的问题,给定一个三维坐标系的一组基,
,那么该坐标系中的任意向量
的坐标的含义为:

,即
用基向量表示时各分量的值。如果再给定另外一个坐标系的一组基
,并且给出
向量在这个坐标系中的表示
 ,那么就可以很方便得到 向量在第二个坐标系中的表示,。因此,可以看作是这两个空间的转换矩阵。

如上图所示,假定△ABC纹理映射到模型中△abc这块三角形上,纹理中存储的rgb分量代表该点处法线在纹理空间中的坐标,我们要将左边的纹理空间中的法向量转换到右边的模型空间中(这里先只讨论uv二维的坐标,第三维直接取模型空间的法向量即可),已知顶点的UV坐标,模型坐标以及法向量,根据上面的讨论,现在要求出
 这两个向量基在模型空间中的坐标,即右边
的坐标。我们可以列出一个方程组:

然后解出T? ,B? 即可。加上第三维坐标时,一般会选择垂直于TB平面的法向量
 ,这个向量是已知的。最后再将
归一化,就得到了转换矩阵。

但是开头说过了,实际我们使用的变换是将光线从模型空间变换到纹理空间,因此要求的实际是逆过程的转换矩阵,好在TBN矩阵是正交阵,转置一下就得到了

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