3D数学 学习笔记(2)矩阵

发表于2018-01-03
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上篇给大家介绍完了向量和坐标系,下面就要介绍Unity3D游戏开发会用到的矩阵知识,矩阵也是3D数学中十分重要的基础,掌握一下很有必要。

矩阵乘法

 

常用等式

** I 为单位矩阵,k为标量,v、w为向量。

  • MI = IM = M
  • AB ≠ BA
  • (AB)C = A(BC)
  • (kA)B = k(AB) = A(kB)
  • (vA)B = v(AB)
  • (AB)T =BTAT (可扩展多个矩阵)
  • (v + w)M = vM + wM

注意:用矩阵ABC转换向量v时,用行向量记法为vABC,转换从左往右。用列向量记法为CBAv,转换从右往左。

理解为变换向量


矩阵和线性变换

旋转

  • 绕任意轴(单位向量n)旋转: v′ = v R(n,θ) 

推导思路: 
- 计算出旋转后的垂直分量(v′ ⊥)与映射到旋转轴的平行分量(v||)相加即可。 
- v|| = ( v · n ) n 
- v′ = cosθv + sinθw 
- w = n × v

缩放

  • 绕任意轴(单位向量n)缩放: v′ = v R(n,θ) 
     

推导思路: 
- 通过轴缩放可知道其映射(v′||)也是相同缩放比例(k),垂直分量不变,所以直接相加即可。 
- v′ = v′|| + v′ 
- v′|| = kv|| 
- v′ = v

正交投影

投影意味着降维操作(如三维到二维)。正交投影实际是使某个方向用0做缩放因子,将所有点(P)做缩放。

例:Pxy , 投影到xy平面,即只变换z值,缩放因子为0。 

镜像(反射)

即使用缩放因子-1做缩放。 

切变(扭曲变换)

例:Hx,x坐标根据坐标y切变。 

例:Hxy,xy坐标被坐标z改变。 

变化的组合

因为矩阵的行向量其实就是变换后的基向量,所以两个矩阵相乘可以简化。

线性变换

如果F保持了基本运算:加法和数量乘,那该映射为线性的。 

仿射变换

线性变换后接着平移。 
- v′ = vM + b

可逆变换

如果存在一个逆变换可以“撤销”原变换,那该变换是可逆的。线性变换中除了投影,其他都可以“撤销”。 
- F−1(F(a)) = F(F−1(a)) = a 。

等角变换

两个向量变换前后夹角大小和方向都不变。只有平移、旋转和均匀缩放是等角变换。

正交变换

轴保持互相垂直,而且不进行缩放变换。只有平移、旋转和镜像是正交变换。长度、角度、面积、体积都保持不变。

刚体变换(正规变换)

只有平移和旋转是刚体变换。

变换类型小结

注释7其实没什么好惊讶的。因为切变可以理解为平行四边形内角的变化而已,而其高度和底边长短都没变,所以面积也不会改变。


矩阵的行列式

在任意方阵都存在一个标量,称为该方阵的行列式。 

如果方阵三行解释为三个向量,就等价于(a×b)·c。 

余子式

矩阵M{ i j }表示从M除去第 i 行和第 j 列剩下的矩阵,称作M的余子式。 

代数余子式

用代数余子式计算方阵的行列式: 

行列式性质

  • |AB| =|A||B| (可扩展到多个矩阵)
  • |MT| = |M|
  • 矩阵任意行或列为0,行列等于0。
  • 交换任意两行或两列,行列式变负。
  • 任意行或列加到另一行或列不会改变行列式的值。

几何解释

  • 在2D中,行列式等于以基向量为两边的平行四边形的又符号面积。在3D中,变换由里往外翻时行列式变负。 

  • 如果行列式为0,则该矩阵包含投影。

  • 如果行列式为负,则该矩阵包含镜像。

矩阵的逆

  • M(M-1) = M-1M = I (单位矩阵)

方阵,不是所有矩阵都有逆(如某一行全为0),有逆矩阵的矩阵称为可逆或非奇异矩阵,否则为不可逆或奇异矩阵。因为奇异矩阵行列式为0,而非奇异矩阵行列式不为0,所以对任意可逆矩阵M,仅当v=0时,vM = 0。

标准伴随矩阵 (adj M)

定义:为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。 
计算逆矩阵公式: 

例子: 
 

性质

  • 非奇异矩阵M,(M-1)-1 = M。
  • I-1 = I
  • (MT)-1 = (M-1)T
  • (AB)-1 = A-1B-1 可扩展多个矩阵。

几何解释

可以计算“反向”或“相反”变换,模拟“撤销”操作。 


正交矩阵

定义:若方阵是正交的,当且仅当M和其转置MT的乘积等于单位矩阵。

旋转和镜像都是正交的。因为转置矩阵和逆矩阵,所以可以避免计算逆矩阵。

几何解释

正交矩阵满足下列条件: 
1. 矩阵的每一行都是单位向量。 
2. 矩阵的所有行互相垂直。

  • 如果M是正交的,则MT也是正交的。
  • 仅在预先知道矩阵是正交的情况下能利用正交性的优点。否则检测正交性经常是浪费时间的。
  • 一组向量互相垂直,称正交基(orthogonal basis)。互相垂直且都是单位向量,称标准正交基向量(orthonoamal basis vectors)。

矩阵正交化

使一些有坏数据或浮点运算累计错误的矩阵正交化,以满足正交性。

施密特正交化:对每一行,减去他平行与已处理部分,最后得到垂直向量,但每次计算只是更正交化,而不是完全正交,所以可以适当的迭代多次得到标准正交基。 


4X4齐次矩阵

即多一个分量w,称齐次坐标。可以更实现更多变换如平移、仿射、透视等。w为0或1,w=0时,表示无穷远的点。 
可以三维向四维的映射。下图是二维xy向三维xyw的映射。 

4X4平移矩阵

实际就是4D空间中的切变来实现3D中的平移。 

经过向量经过旋转和平移: 

如果向量w值为0,则平移不会影响其转换后结果,可以当作“方向”,w为1,可以当做“位置”。下图w为0,可以看到最后结果不受平移影响。 

仿射变换

原理是先把变换的“中心点”(P)平移(T)点到原点,进行线性变换(R),再平移(T-1)回去,即:TRT-1。 

复合变换

约定先进行缩放变换,然后进行旋转,最后平移。 


透视投影

w作为投影平面。 
 

推导到3D空间中: 

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