游戏的概率计算(2)——期望

发表于2016-04-05
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游戏的概率计算(2)——期望

推荐一本书《全景游戏设计》本文引用部分例题,展开对游戏各种场合期望值的计算一些不同看法抛砖引玉,与各位探讨

     随机带来偶然性,偶然性有时候就是惊喜,最不济也是挫折,适当的挫折带给人挑战的动力,让人摆脱无聊体验。

1.1.      一个赌徒说起

1654,法国贵族Antoine遇到了一个问题。他是一名狂热的赌徒,他曾经玩过一种赌法,掷4骰子,赌能够至少有一次掷出6。他从这种赌博中赚了大钱,但是他的朋友们已经厌倦了失败,并且拒绝再与他玩这个游戏。

为了找到一种新的方法来继续榨取他朋友们的钱财,他发明了一种新的玩法,并相信这种玩法与前一种拥有相同的胜算。在这新玩法,他掷24骰子(每次投掷2骰子)至少有一次能掷出1226朋友们起初都对这个玩法心存疑虑,但很快就都开始喜欢上这个游戏——因为Antoine开始飞快的输钱。Antoine感到很迷茫,因为他通过自己的计算,得出两个游戏拥有相同的胜算:

              第一种玩法:掷一个骰子4,如果至少掷出一次6Antoine

              的理由是,单独掷一6的概率是1/6因此如果掷4骰子出6点的概率是:4x(1/6)=66%这也就说明了他容易赢钱的原因。

              第二种玩法:一对骰子24,如果至少掷出一次12,则Antoine

              Antoine判定用一对骰子掷出12的概率是1/36接着他推论,掷24骰子的概率应该是24*1/36=66%与之前玩法拥有相同的胜算。

              因为输了而茫然Antoine数学家帕斯卡写了一封信,希望能够得到一些建议。帕斯卡发现这个问题很有趣——当时已有的数学方法还不能回答这些问题。于是帕斯卡给费马写信寻求帮助。两人漫长的书信往来伴随着越来越多问题的解决和相应的解决方法的不断发现诞生了数学的新分支——概率论。

              故事讲完,长话短说开始计算顺便介绍一下Excel中容易被忽视的概率统计函数

1>    第一种玩法:掷一个骰子4,至少掷出一次6

这是一个成功率为p=1/6的二项分布,在excel2计算方法

方法1,使用combin组合函数,利用公式 ans=c(m,n)p^n(1-p)^(m-n)

先求出44次都没有6几率,然后用1去减

ans=1- COMBIN(4,4)*(5/6)^4*(1/6)^0= 0.5177

方法2使用二项分布BINOM.DIST函数,直接求解,

先求出,4,正好06几率,然后用1

Ans= =1-BINOM.DIST(0,4,1/6,1)=0.5177

BINOM.DIST函数的使用说明如下:

Ans=1-0.482=0.52

2>    第二种玩法, 一对骰子24,至少掷出一次12

数据

说明

 

0

试验成功次数

 

24

独立试验次数

 

0.028

每次试验的成功概率

 

公式

说明

结果

0.509

4次试验正好成功 0 次的概率。

0.509

使用同样的方法,所求结果ans=1-0.509=0.491就是第2法,Antoine会输钱的原因。

那么Antoine究竟哪里犯掷一个骰子4得到6个数期望值确实是4*(1/6)但这并不是赢次数的期望值,因为无论4的投掷骰子,无论是16还是46,都只能算作赢一场

excel还有几个常用分布的计算,如泊松分布用函数Poisson, 超几何分布用Hypgeomdist

1.2.      游戏中的期望值

1.2.1.      技能的期望伤害

同样在游戏里,我们也经常有意无意的犯了同样比如下表的技能

技能名称

命中率

伤害

100%

4

火球

80%

5

闪电球

20%

40

我们很容易就把这3技能的期望值分别算=100%*4=4火球=80%*5=4闪电球=20%*40=8

1.1赌博的例子类似,当被这些技能攻击角色,生命值低于技能伤害时,会有伤害的浪费,但这部分伤害上一段的计算方法被计了。

以双方均为20生命为例闪电球在命中成功时,有效的伤害只有20而已。似乎,我们应该考虑20作为闪电球的伤害值,来进行期望伤害的计算,20%*20=4

期望值的计算调整为Edam=Min(技能伤害目标生命值)*命中率。这也是全景游戏设计》中介绍方法

游戏的平衡设计中,我们常使用期望值来作为实际的游戏体验的——胜负——情况的参考利器但实际上他实际情况有差异。

技能风,伤害值4命中率100%闪电球伤害值20命中率20%2技能比较为例,分别携带这2技能的生命值均为hp(1<=hp<=100)2角色互相PK为例,将风的胜利统计为1风的失败统计为-1平局统计为0(模拟时,认为双方总是同时出手,胜利条件为,某个回合自己的生命值大于0但对方的生命值小于等于0失败条件则完全相反;平局意味着,某个回合自己和对方生命值一起小于等于0)

进行大量实验结果x(x取值为-1,0,1)平均值aveave接近0表示双方的胜负情况越接近。hp=1,2,…,100分别进行10万次的统计得到如下的结果:

(每个纵坐标x值表示是胜利比失败多出的比例)

              可以看到随着生命值hp提高,x取值以周期震荡形态逐渐的靠近0这意味着平衡性随着生命值的提高而变好。

              我们如果深入下去,很多值得思索地方周期看起来非常像是20这是偶然吗;各周期的波峰波谷绝对值逐渐减少这是必然吗每个周期内的均值是多少,能够计算吗?

              尽管这几个问题值得探讨,但本文并不打算深入下去。本文主要的目的,是指出一些标准流程容易过度自信的地方,指出实际情况与计算结果之间产生误差原因,并尽可能圈出安全范围

              对于这个问题,我们看到,只要提高生命值到一定的程度,误差就可以被控制在一定的范围之内。上述技能闪电球的比较可以粗略的认为每次的波峰衰减至80%左右。基于此,在10周期内,偏差会小于0.810次方(约为10%),即,200生命值对于期望值4伤害是足够精确的。

              到这里,我还需要对偏差产生的原因定性的分析一下(顺便也解释一下上文图中呈现试验数据并不是由于代码错误之类的原因造成的的是这样)我们理一下思路,风(攻击4命中100%)闪电球(攻击20命中20%)比较,第一交手,双方都机会出手在第2交手时,风的技能能否出手,取决于闪电球前面的交手是否命中了他——如果第一次交手就被闪电球命中,第2回合就无法出手。所以风的5回合内的平均伤害={4,4*0.8,4*0.8^2,4*0.8^3,4*0.8^4}/5=2.7

             

1.2.2.                    武器的期望伤害掷骰子

武器的期望有2形,1是暴击,1武器攻击力的上下限。

我们在计算时,会认为50点攻击的武器——40攻击并且25%的几率发生2暴击伤害武器——匕首具有同样的期望伤害50实际的属性投放时,基于某些考虑(比如1.2.1的伤害溢出,或是其它暴击效果比如技能等模块的叠加规则以及生命值的设置等暴击发生概率和暴击的伤害倍率酌情调整参考Dota几个暴击技能(排除幻影刺客的大招、熊猫和赏金的带闪避暴击复合技能)

骷髅王,15 % 的几率造成2 .75 伤害的致命一击,期望伤害126%

娜迦45 % 的几率造成1 .5 致命一击,期望伤害122.5%

剑圣,36 % 的几率造成2倍致命一击,期望伤害136%

骷髅王,由于是力量影响,血量和攻击频率与敏捷英雄有差异,也排除观察剑圣和小娜迦看到dota这个场合下,爆率更低的单位给予了更多的期望伤害的补正

暴击类似的,是武器的攻击上下限,这和D&D规则中的nDm,以及多次掷期望和相似,可以认为是前面武器或技能的暴击推广

下面的一个赌博玩法为例

游戏内置了一个赌博玩法,一个有分支的路线上,散布玩家可见的宝箱,玩家通过投掷一个范围[1,6]的骰子,来随机距离的进行移动,并获得沿途经过的格子上的宝箱,参考下图

 

              为简化计算,我们先以一个10格长的线性路径为例,平均投掷多少骰子,才能到达终点点数和大于等于10

              如果用期望值,1~6骰子,每次的期望投掷点数=1+2+3+4+5+6/6=3.5,直觉上,平均投掷10/3.52.86骰子

              到这里大家应该已经能够习惯偏差了,的,在掷出16之后无论掷出4还是56,都能够到达终点,但56出现拉高了掷期望点数,就像拉高我们的平均工资一样

              解决这个问题,我们先要解决问题是,n刚好点数和为s概率之后就可以通过求n次掷骰子的点数和为10,11,12,…,6n的概率和,分别计算n次骰子能够到底终点的概率,对这组概率再进行简单的计算,能够求出掷骰子次数的期望值了

              计算n刚好点数和为s概率有不下7种方法,这里列出操作性较高的几种方法

n         离散多重卷积公式

n         (1+x+x^2+...+x^5)^nx^(s-n)的系数

n         函数递归

n         程序模拟

n         马可夫过程

              这里用程序模拟的方法,最终分别10万次模拟到达终点,求出10组分别的平均掷骰子的次数如下:{3.32491,3.3225,3.32618,3.32693,3.32595,3.32468,3.32445,3.32322,3.32175,3.32769}

              这个结果的精确值是3.32369与开始的2.86差距还是有些大的。

1.3.      蒙特卡洛模拟

上个月围棋界的李世石VS阿发狗,让很多人听到了蒙特卡洛这个名词,其实大多数数值策划都用过这个模拟方法——我们使用vba或是其它的工具,进行若干次数的循环模拟计算结果,蒙特卡洛模拟的一种应用方式。

虽然最早认为这种方法的应用,蒲丰投试验,但是我个人认为最早的应用可能是在占卜。另外,中学的生物课里学过的孟德尔豌豆实验,也是使用了蒙特卡洛方法。

蒲丰投试验

孟德尔豌豆实验

              现在,随着计算机性能的提高,这种模拟统计和计算都交给计算机了。

              具体模拟的方法,参考:

简述如何制作战斗模拟器http://gad.qq.com/article/detail/7149578

Mathematica里,这个模拟更加简单:

其中k=10所求之

              很多人都说过,战斗的模拟器的制作没什么用,其实这有2种意思:一种说法是,有更好的办法;另一种说法是,东西我得不到对我游泳的效果。阿发狗都41碾压李石了,应该能说明一部分问题了。我希望每个这样说的人,掌握了更好的方法。

在概率计算(1)中,了个问题,这里用另一个更一般的问题回答吧:

问题是,一个集字活动期间,玩家完成一次副本,有几率获得一个汉字(这个字可能是八仙过海,各显神通之一,每个字的概率各不相同,分别p1,p2,p3,…,p8收集齐一套汉字,可以获得活动奖励,活动期间,仅可获得一次奖励,汉字不可以交易交换。玩家需要打多少次副本,才能获得奖励?

数学解,答案是:

牛刀小试一番,我们用它计算蛋刀套装收集次数问题,蛋刀主手掉率p1=0.1副手p2=0.05;计算获得一套蛋刀需要计算的boss的平均数量:

ans=

得到果,ans=23.3333

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