【译】给自学游戏和图形开发者的数学符号指南

发表于2016-03-15
评论0 2.4k浏览
这是一份通过对比数学符号和JavaScript代码来帮助开发者更容易了解数学符号的参考。
动机:学术论文可能会吓着自学游戏和图形的程序猿:)
注意: 简洁起见,有些代码示例使用了npm 包。你可以到他们的GitHub repos来查看实现的详细情况。

前言
数学符号可以表示不同的意思,这取决于作者,上下文和所学习的领域(线性代数,集合理论,等等)。这份指南也许不会涵盖符号的所有用法。在某些情况,会引用一些真实材料(博客文章,出版物等等)来演示某个符号的实际用法。
更完整的列表,请看Wikipedia - List of Mathematical Symbols
简单起见,这里许多的代码示例都操作浮点数值,并不是数字健壮的(numerically robust)。为什么这会是一个问题的更多细节请看Robust Arithmetic Notes 作者是 Mikola Lysenko。

目录

 变量名约定

 等号 = ≈ ≠ :=

 平方根与复数 √ i

 点 & 叉 · × ∘

 标量乘法

 向量乘法

 点乘

• 叉乘

• 西格玛 Σ - 求和

 大写 Pi Π - 序列的积

 管道 ||

 绝对值

 欧几里得模

 行列式

 帽子 â - 单位向量

 "属于" ∈ ∉

 常见数字集 ℝ ℤ ℚ ℕ

 函数 ƒ

 分段函数

 通用函数

 函数符号 ↦ →

 撇号 ′

 向下取整和向上取整(floor & ceiling) ⌊ ⌉

 箭头

 实质蕴含(material implication) ⇒ →

 等式 < ≥ ≫

 与 & 或 ∧ ∨

 辑非 ¬ ~ !

 区间(intervals)

 更多...


1、变量名约定

有很多命名约定取决于上下文和所学领域,他们并不太一致。然而在一些文献中你会发现变量名遵循一些模式,例如:

· s - 斜体小写字母用做标量 (例如一个数字)

· x - 粗体小写字母用做向量 (例如一个2D点)

· A - 粗体大写字母用做矩阵 (例如一个3D变换)

· θ - 斜体小写希腊字母用做常量和特殊变量 (例如 欧拉角 θ, theta)

本指南也基于这个格式。


2、等号

有很多符号很像等号 = 。这里有些常见的例子:

· = 表示相等 (值相同)

· ≠ 表示不相等 (值不同)

· ≈ 表示约等于 (π ≈ 3.14159)

· := 表示定义 (A 被定义为 B)

在 JavaScript 中:

你也许看过 :=, =: 和 = 符号用来表示 定义。1

例如,下边定义 x 为 2kj 的别名。

在 JavaScript 中,我们用 var 来 定义 变量和提供别名:

然而,这里的x值是可变的,仅是当时的一个快照。在某些有预处理器语言中的 #define 语句才比较接近于数学中的 定义。

在JavaScript (ES6) 中,更精确的 定义 ,应该有点类似这样:

与此不同的是,下边这句表示的是相等:

上边的等式也可以解释为一个 断言:

3、平方根与复数

一个平方根运算是这种形式:

在编程语言中我们使用 sqrt 函数, 像这样:

复数是形式的表达式,其中a是实数部分, b是虚数部分。 虚数i 的定义为:

JavaScript没有内置复数的功能,但有一些库支持复数算法。例如, mathjs:

其他实现:

 immutable-complex

 complex-js

 Numeric-js

4、点 & 叉

点 · 和叉 × 符号根据上下文的不同有不同的用法。

他们可能看上去很明显,但在进入下一部分之前,理解他们之间微妙的不同是非常重要的。

5、标量乘法

两个符号都可以表示简单的标量之间的乘法。下边的写法意思相同:

在编程语言中,我们倾向用星号表示相乘:

通常,使用乘法符号只是为了避免意义模糊(例如两个数字之间的)。这里,我们可以完全省略:

如果这些变量表示的是标量,则代码应该这样写:

6、向量乘法

表示向量和标量之间相乘,或两向量的逐元素相乘(element-wise multiplication),我们不用点 · 或叉 × 符号。 这些符号在线性代数中有不同的意思,后边讨论。

让我们用之前的例子,但用在向量上。对于向量的逐元素相乘(element-wise vector multiplication)来说,你可能会看到用一个空心点来表示 Hadamard product2

某些时候,作者可能会显式定义一个不同的符号,例如圆中点 ⊙ 或实心圈 ● 。3

这是对应的代码,使用数组 [x, y] 来表示2D向量。

multiply 和 multiplyScalar 函数应该这样:

同样的,矩阵相乘也不用 · 或 × 符号。 矩阵乘法会在后边章节提到.

7、点乘

点符号 · 可用来表示两向量之间的 点乘 。 由于其值是一个标量,通常被叫做 标量积(scalar product) 。

这在线性代数和3D向量中是非常常见的,代码类似这样:

结果为 0 告诉我们两向量互相垂直. 这是3元素向量的 点乘 函数:

8、叉乘

叉乘符号 × 可以用来表示两向量的 叉乘

在代码中,应该是这样:

这里得到结果为 [ 0, 0, -1 ],这个向量同时垂直于 kj

我们的叉乘 cross 函数:

向量乘法,叉乘,点乘的其他实现:

• gl-vec3

• gl-vec2

 vectors - 包含 n维实现

9、西格玛(sigma)

大写希腊字母 Σ (Sigma) 用来表示 总和 Summation。 换句话说就是对一些数字求和。

这里, i=1 是说从 1 西格玛上边的数字100为止。这些分别为上下边界。 "E" 右边的 i 告诉我们求和的是什么。代码:

sum 的结果为 5050 。

提示: 对于整数,这个特殊形式可以优化为:

这里有另一个例子,这里的 i ,或 “想要求和的东西” 是不同的:

代码:

sum 的结果为 10200 。

这个符号可被嵌套,非常像嵌套一个 for 循环。 你应该先求和最右边的西格玛, 除非作者加入括号改变了顺序。然而下边的例子,由于我们处理有限的和,顺序就不重要了。

代码:

这里,sum 值为 135。

10、大写 Pi

大写 Pi 或 “大Pi” 与 西格玛 非常接近, 不同的是我们用乘法取得一系列数字的乘积。

看下边:

代码应该类似这样:

value 结果应得到 720。

11、管道(pipes)

管道符号,就是 竖线(bars),根据上下文不同,可以表示不同意思。下边的是3种常见用途 绝对值, 欧几里得模, 和 行列式

这3种特性都是描述对象的 长度(length) 。

12、绝对值

对于数字 x, |x| 表示 x 的绝对值。代码为:

13、欧几里得模(Euclidean norm)

对于向量 v, ‖v‖ 是 v欧几里得模(Euclidean norm) 。也叫做向量的 "量级(magnitude)" 或 "长度(length)" 。

通常用双竖线表示来避免与绝对值 符号混淆,但有些时候也会看见单竖线。

这里的例子用数组 [x, y, z] 来表示一个3D向量。

length 函数:

其他实现:

 magnitude - n-dimensional

 gl-vec2/length - 2D vector

 gl-vec3/length - 3D vector

14、行列式

对于一个矩阵 A, |A| 表示矩阵 A行列式(determinant)

这是一个计算 2x2 矩阵行列式的例子,矩阵用一个column-major格式的扁平数数组表示。

实现:

 gl-mat4/determinant - 也可以看 gl-mat3gl-mat2

 ndarray-determinant

 glsl-determinant

 robust-determinant

 robust-determinant-2robust-determinant-3,专门 2x2 和 3x3 的矩阵

15、帽子

在几何里,字母上的 “帽子” 符号用来表示一个单位向量。例如,这是向量 a 的单位向量。

在笛卡尔空间中,单位向量的长度为1。意思是向量的每个部分都在 -1.0 到 1.0 之间。这里我们 归一化(normalize) 一个3D向量为单位向量。

这是 归一化(normalize) 函数,接收一个3D向量参数:

其他实现:

 gl-vec3/normalizegl-vec2/normalize

 vectors/normalize-nd (n-dimensional)

16、属于

集合理论中,“属于”符号 ∈ 和 ∋ 可以被用来描述某物是否为集合中的一个元素。例如:

这里我们有一个数字集 A { 3, 9, 14 } 而且我们说 3 是“属于”这个集合的。

在ES5种一个简单的实现应该这样:

然而,可以用只能保存唯一值的Set,这样更精确。这是ES6的一个特性。

反向的 ∋ 意义相同,只是顺序改变:

你可以使用 "不属于" 符号 ∉ 和 ∌ 像这样:

17、常见数字集

你可能在一些公式中看见一些大黑板粗体字。他们一般是用来描述集合的。

例如,我们可以描述 k 是属于 ℝ 集的一个元素。

下边列出一些常见集和他们的符号。

18、ℝ 实数(real numbers)

大 ℝ 描述 实数(real numbers) 的集合。他们包括整数,有理数,无理数。

JavaScript认为整数和浮点数为相同类型,所以下边将是一个 k ∈ ℝ 的简单测试:

注意: 实数也是 有限数(finite),非无限的(not infinite)

19、ℚ 有理数(rational numbers)

有理数是可以被表示为分数,或 比率(类似⅗)的实数。有理数不能以0作分母。

这意味着所有的整数都是有理数,因为可以看成分母为1。

换句话说无理数就是不能表示为比率的数,例如 π (PI)。

20、ℤ 整数(integers)

一个整数,是没有小数部分的实数。可为正也可以为负。

在JavaScript中的简单测试应该这样:

21、ℕ 自然数(natural numbers)

自然数是正整数或非负整数。取决于所学领域和上下文,集合中可能包含也可能不包含0,所以可以是下边任意一种集合。

前者在计算机科学中更常见,例如:

22、ℂ 复数

复数是实数域虚数的组合,被视为2D平面上的一个坐标。更详细的信息请看A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers

23、函数

函数 是数学的基本特性,其概念很容易转换成代码。

函数把输入输出值联系起来。例如下边是一个函数:

我们可以给函数一个 名字 。一般来说我们用 ƒ 来描述一个函数,但也可以命名为 A(x) 或其他什么。

在代码中,我们可以给函数命名为 square 写出来应该类似这样:

有时函数没有名字,而是直接写出输出值。

在上边的例子中,x 是输入值,y 是输出值,他们是平方的关系。

像编程语言一样,函数也可以有多个参数。他们在数学中被称为 arguments,并且函数接受的参数数量被称为函数的 arity 。

代码:

24、分段函数

有些函数根据输入值 x 的不同会有不同的关系。

下边的函数 f 根据不同的输入值选择两个不同的“子函数”。

这非常接近于代码中的if / else。右边的条件经常被写为"for x < 0" 或 "if x = 0"。如果条件为true,就使用其左边的函数。

在分段函数中,"otherwise" 和 "elsewhere" 类似于代码中的 else 。

25、通用函数

有些函数名在数学中是普遍存在的。在一个程序员的角度看,这些应该类似于编程语言中的“内置”函数(就像JavaScript中的 parseInt )。

一个例子就是 sgn 函数。这是 正负号 函数,或者叫 符号 函数。让我们用分段函数来描述它:

代码中,应该这样:

此函数作为独立的module在这里signum

其他类似函数的例子还有: sin, cos, tan。

26、函数符号

在某些著作中,函数可以被更明确的符号定义。例如,让我们回到之前提到的 square 函数。

也可以写为以下形式:

带尾巴的箭头通常意思为“映射到”,如,将x映射到x2

有时,不是很常见,这个符号也用来描述函数的 domain 和 codomain。对 ƒ 更正式的定义可以写为:

函数的 domain 和 codomain 分别跟他的 input 和 output 类型有点像。这里有另一个例子,使用了我们之前输出整数的 sgn 函数。

这里的箭头(没有尾巴)用来映射一个 集合 到另一个。

在JavaScript和其他动态类型语言中,你也许会用文档 和/或 运行时检查来解释和验证函数的输入/输出。例子:

有些工具例如flowtype尝试将静态类型带入到JavaScript中。

其他语言,例如Java,允许真正的方法重载(overloading),它们基于函数输入输出的静态类型。这更接近于数学领域:使用不同 domain 的两个函数是不同的。

27、撇号(prime)

撇号 ( ′ ) 通常用在变量名上,用来描述某物很类似,而不用另起个名来描述它。也可以描述经过一些变换后的“下一个值”。

例如,如果我们有一个2D点 (x, y) ,然后旋转它,你会把旋转后的点命名为(x′, y′)。 或者将矩阵 M 的 转置矩阵 命名为 M′

在代码中,我们通常的分配一个描述更详细的变量名,例如transformedPosition。

作为数学函数,撇号通常描述为函数的 衍生(derivative) 函数。衍生物会在未来的章节解释。我们来看一个之前的函数:

它的衍生物函数(derivative)可以写为一个带撇号′的函数:

代码:

多个撇号可以用来表示第二个衍生函数(derivative) ƒ′′ 或 第三个衍生函数(derivative)ƒ′′′ ,之后更高的数字,一般作者会用罗马数字 ƒIV 或上标数字

ƒ(n) 表示。

28、向下取整和向上取整(floor & ceiling)

⌊x⌋ 和 ⌈x⌉ 这种特殊的括号分别用来表示floor 和 ceil 函数。

代码:

当这两个符号混合⌊x⌉,它通常表示一个取整到最近的整数的函数。

代码:

29、箭头

箭头通常用来表示函数符号。这里还有一些在其他领域中的用法可以看看。

30、实质蕴含(material implication)

⇒ 和 → 优势被用作表示实质蕴涵(material implication)的逻辑。意思是如果A是true,那么B也是true。

解释为代码应该为:

箭头可以是左右任何方向 ⇐ ⇒,也可以双向⇔。当 A ⇒ B 并且 B ⇒ A,就是他们是相等的:

31、等式(equality)

在数学中, < > ≤ 和 ≥ 与代码中的使用方法一样:分别为 小于, 大于, 小于等于 和 大于等于。

偶尔会看到在这些符号上加了一条斜线,来表示 不,比如, k 不 "大于" j.

≪ 和 ≫通常用来表示 明显(significant) 不相等。这是说 k 是有数量级(order of magnitude)的大于 j。

在数学中,数量级(order of magnitude) 是相当明确的;不只是“相当大的不同”而已。上边的一个简单例子:

下边是我们的 orderOfMagnitude 函数,使用了Math.trunc (ES6)。

Note: This is not numerically robust.

这里是在ES5下使用math-trunc 的polyfill。

与(conjunction) & 或(disjunction)

另一种箭头在逻辑中的使用是与(conjunction)∧ 和 或(disjunction) ∨。他们分别类似于程序员的 AND 和 OR操作。

下边展示了与(conjunction)∧, 逻辑中的AND。

在JavaScript中,我们使用 && 假设 k 是一个自然数,那么这个逻辑意味着k等于3:

由于双边都相等 ⇔,所以也说明下边成立:

下箭头 ∨ 是逻辑或(disjunction),就像 OR 操作符一样。

代码:

32、逻辑非(logical negation)

有时候,¬, ~ 和 ! 符号都用来表示逻辑 NOT。例如,只有在A为false的时候,¬A 为true。

这里是一个使用 not 符号简单的例子:

翻译成代码的例子:

注意: 根据上下文的不同,波浪线 ~ 可以有很多种不同的意思。例如,行等价(row equivalence)(矩阵理论)或相同数量级(same order of magnitude) (在等式(equality)章节讨论过)。

33、区间(intervals)

有时函数会处理被一些值限定范围的实数,这样的约束可以用区间(interval)来表示。

例如我们可以表示0和1之间的数,让他们包含或不包含0和1:

 不包含0或1:

 包含0但不包含1:

 不包含0但包含1:

 包含0和1:

例如我们指出一个点 x 在3D单位立方体中,我们可以说:

在代码中我们可以用两个元素大小的一维数组表示区间:

区间与集合运算结合符使用:

 交集(intersection) e.g.

 并集(union) e.g.

 差集(difference) e.g.

代码:



见:

 next-after

 interval-arithmetic


---------------


翻译自:< math-as-code / https://github.com/Jam3/math-as-code >

我已获得作者翻译授权,并已经合并至作者Github原文中,证据请参考下图


作者twitter

如社区发表内容存在侵权行为,您可以点击这里查看侵权投诉指引