【译】开始构建三维图形引擎:点、向量和一些基本概念

发表于2016-01-02
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开始构建三维图形引擎:点、向量和一些基本概念

  翻译出处:http://gamedevelopment.tutsplus.com/tutorials/lets-build-a-3d-graphics-engine-points-vectors-and-basic-concepts--gamedev-8143

  该系列文章参考链接:Let’s Build a 3D Graphics Software Engine.

  当今最大的游戏背后的三维游戏引擎(3D game engines)源自于惊人的数学和编程工作,而且许多开发者发现,想要完全理解他们是一个非常复杂的任务。如果缺少一些经验(或者是一些大学课程,例如作者自己),这个任务将变得更加艰巨。这一系列教程中,我的目标是带你了解三维游戏引擎中基本的图形系统。

  具体来讲,在这篇文章,我们将会讨论点、向量以及它们之间非常有趣的部分。如果你对代数计算机科学(面向对象的编程)有一些理解的话,你将会有能力理解该文章的绝大多数内容,但是如果你对于这些概念有疑问的话,请提出问题!因为有一些话题是很难理解的。


1、坐标系基础知识(Basics of Coordinate Systems)

  让我们从以下基础知识开始。三维图形需要一个三维空间(three-dimensional space)。最常用的空间我们称之为笛卡尔空间(Cartesian Space),为笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)的使用提供了方便。(基本的(x, y)坐标,以及二维空间图形的知识在大多数高中已经掌握,如下图所示)

  三维笛卡尔坐标空间为我们提供了X, Y, Z三个轴向(可以独立的描述水平,垂直和深度方向位置信息)。在该空间中的任意一点的坐标被表示为一个元组(tuple)(这里是一个三元元组,因为有三个轴向)二维空间中,一个元组可以被描述为(x, y),在三维空间中,被描述为(x, y, z), 三元元组可以表示一个点相对于空间原点(space origin)(典型原点坐标为(0, 0, 0))的位置

  提示元组:在计算机和数学学科,表示元素一个有序排列(或序列)(K, y, l, e)是一个4元组显示了组成我名字的四个字母。

该空间中,我们将定义一个三元元组表示的点如下所示

除了定义点之外,我们必须定义其它部分。

每一个三元元组的元素叫做一个标量(scalar)(数字),定义了在某一个基向量(basis vector)方向的位置每一个基向量必须是单位长度的(意思是向量的长度为1)因此像(1,1,1)和(2,2,2)不能作为基向量。

该空间定义三个基向量,如下:


2、坐标系(The Coordinate System)

  现在来讨论坐标系的数学定义,以及它是如何影响我们的图形系统和相应的计算。

2.1、代数(Representing Points)

 我们坐标系的原点(origin point)可以表示为点O表示一个三元组(0,0,0)。这意味着坐标系的数学表示可以被描述为:

{O; X, Y, Z}

 通过上述声明,(x, y, z)可以表示为一个点相对于原点的位置。该定义同样可被描述为:任何点P(a, b, c)都可以表示为:

P = O + aX + bY + cZ

 在这里,使用小写字母表示标量,使用大写字母表示向量。因此,a, b, c是标量; X, Y, Z向量(它们实际上是我们之前定义的基向量)

 这意味着一个元组(2, 3, 4)组成的点可以如下表示:

 至此,我们掌握了“在三维空间”抽象概念,以及使用四个分离的对象来组合表示。这种类型的定义对于将任何概念转换为代码都是非常重要的。

2.2、互相垂直(Mutually Perpendicular)

 我们使用的坐标系具有互相垂直的重要属性。这是说任何两个坐标轴互为90度。

 这里使用的坐标系同样定义为右手坐标系。

 可用如下数学公式表示:

X = Y * Z

 其中,*表示向量叉乘操作

 假如你不了解什么是叉乘,它可以通过如下公式进行定义(假设给定两个三元组)

 上面的公式看起来是乏味的,但是稍后它将给我们更容易的提供多种不同的计算和变换。幸运的,构建一个游戏引擎时,你不需要记住所有的这些公式可以从这些公式中进行简单的构建然后在此之上构建稍微复杂的系统。除非你要在你的引擎中编辑一些基本的内容,或者是你要更新引擎的所有


3、点和向量

  在掌握了这些基本的坐标系知识之后,是时候来讨论点和向量了,更重要的是讨论它们之间是如何影响的。要注意的第一个事情是:点和向量是表示不同的东西的。一个点是表示空间中的一个实际位置;一个向量是两个点之间的空间。

要确保不要混淆上述内容,使用大写斜体字表示点,例如P,使用大写粗体字表示向量,例如V。

当使用点和向量时,有两个重要的公里:

  公理1:两个点的差表示为一个向量,例如V = P – Q

  公理2:点和向量之和为一个点,例如Q = P + V

提示:公理是不需要证明的推论。


4、构建引擎

  在上述公理之后,我们有足够的信息来创建三维游戏引擎中重要的基本类:类Point和类Vector。如果想要使用这些信息来构建自己的引擎,会有一些其它重要的步骤要执行(多数情况是优化和处理已有的API函数,译者注:例如使用现有的图形绘制引擎OSG等),但是为了简单起见,我们跳过这些。

 下面这些是伪代码,你可以根据这些进行有选择的编程下面是两个类的概要。

下面是一个示例程序:

5、结论

  恭喜你看到文章最后,我们将看起来可怕的数学转化为两个清楚的类。在大多数情况下,你都没必要工作在游戏引擎的这个层级,但是对它有清楚的认识对于你的游戏引擎是很有帮助的。

  如果你认为这篇文章是有趣的,那么请查看我的下一篇关于图形系统的基础教程:变换。

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