SPH算法简介(一): 数学基础

发表于2015-11-09
评论6 5.5k浏览

        SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)算法是一种流体模拟算法,他的特点是简单快速,可以用在例如游戏这样的实时的交互软件中。SPH算法虽然简单,但要完全搞明白其中的原理和实现方法,也不是易事,写这个系列希望能全面介绍一下相关的内容,如果你搜索到这里,可以仔细看一下这个系列,希望能帮到你。

        烟雾、海浪、水滴…,这些司空见怪的自然现象其实有着非常复杂的数学规律,对于流体的研究,有两种完全不同的视角,分别是欧拉视角和拉格朗日视角。欧拉视角的坐标系是固定的,如同站在河边观察河水的流动一样,用这种视角分析流体需要建立网格单元,还会涉及到有限元等复杂的工程方法,一般用在离线的应用中。而拉格朗日视角则将流体视为流动的单元,例如将一片羽毛放入风中,那么羽毛的轨迹可以帮我们指示空气的流动规律。



欧拉视角和拉格朗日视角
       SPH算法是典型的拉格朗日视角,它的基本原理就是通过粒子模拟流体的运动规律,然后再转换成网格进行流体渲染。

>>


        在正式开始之前,需要把SPH算法涉及到的相关数学概念介绍一下,这些概念基本上都是大学数学中的内容,所以不用紧张,翻翻书就能想起来。
       
标量场和矢量场
        如果空间区域内一点M,都有一个确定的数量f(M),则称这个空间区域内确定了一个标量场,如果空间区域内任意一点M,都有一个确定的向量F(M),则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如,液体中的密度,就是标量场,而速度,就是矢量场       

偏导数
        对于多元函数z=f(x,y),定义z在(x0,y0)处相对于x的偏导数为
(1.1)

        例如,定义z=x2+2xy+y3,那么∂z/∂x=2x+2y, ∂z/∂y=2x+3y2


哈密顿算子

        哈密顿算子∇在流体力学中是如此重要,以至于很多地方将这个符号作为流体力学的标志,所以这里要着重介绍一下,所谓“算子”,就是那种不能单独存在,必须和其他符号放在一起的一种数学符号,例如微分中的那个“d”。哈密顿算子的定义如下:

(1.2)

        哈密顿算子有很多有趣的特性,它本身虽然并不是一个矢量,但很多运算确实可以把它视为一个矢量,例如把它作用在一个标量场A=f(x,y,z)上,那么

(1.3)

        这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法,得到的∇A是一个矢量场,称为A的“梯度”,顾名思义,梯度的含义就是标量场A在某处变化快慢和方向,比如一个标量场H(x,y)是一座高山在(x,y)处的高度,则H的梯度是该高山在某处陡峭的程度,并且方向指向高处。


  上面两个图中,标量场是黑白的,黑色表示大的数值,而其相应的梯度用蓝色箭头表示
        而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场A上,得到的∇∙A称为矢量场A的“散度”,散度的计算和矢量的点积运算相似,得到的是一个标量场。

(1.4)

        散度的意义也很明显,就是描述一个矢量场“发散”的程度,例如下面的两个矢量场,左边的有很大的散度,而右边的散度为0

两个散度差别很大的矢量场


拉普拉辛算子

拉普拉辛算子∇2是二阶微分算子,有时也可写作Δ或者∇∙∇

(1.5)

        例如对于A=f(x,y,z)

(1.6)

如社区发表内容存在侵权行为,您可以点击这里查看侵权投诉指引