3D数学基础

发表于2015-09-25
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要在计算机中模拟维空间,就需要一些数学工具的支持,他们是进行计算机三维模拟的基础。一般情况下,为产生动画效果,需要记录空间中物体的位置,旋转,以及缩放信息,并不断改变这些值来实现此效果。

1.矢量

首先,需要一种能够存储空间位置信息的数据结构。本系统使用的是笛卡尔坐标系,即可以使用三个浮点数来表示空间中任意一点的位置,因此我选择使用三维矢量(Vector)来存储位置信息矢量标量相乘,其效果是保留矢量的方向,同时缩放矢量的模。而三个轴上的缩放因子也可以不同,其称之为非统一缩放(nonuniform scaling)。

两个矢量a,b相加后会产生一个新的矢量,新矢量的每个分量为a与b中每个对应分量的和。用图形表示此运算的话,就是把a矢量的头连接至b矢量的尾,所得到的一个由a的尾延伸至b的头的矢量。矢量的减法等同于a与-b相加,也就是a与反转的b相加得到的结果

矢量的模(公式4.1是一个标量,表示矢量在空间中的长度,可以使用勾股定理计算矢量的模

              (4.1)

单位矢量标是长度为1的矢量,我们常用单位矢量表示模型表面的法线信息。

使用矢量的点积(公式4.2可以判断两个矢量是否共线或垂直,或测试两个矢量是否大致方向相同或相反。

              (4.2)

两个矢量的叉积(公式4.3会产生一个垂直于原来两个矢量的新矢量。

              (4.3)

在三维模拟程序中,常常需要实现平滑的动画效果,而游戏的模拟速度和渲染速度通常是分离的,所以在模拟时假设我们要从点A移动到点B,在fps为60的情况下,就需要计算两点间的60个中间点来渲染,才能得出平滑的动画效果,具体实现如公式4.4所示。

              (4.4)

2.四元数

3x3矩阵是可以存储旋转数据的,但是其体积庞大(四元数4个浮点数,3x3矩阵9个浮点数),而且矩阵的插值计算是非常昂贵的。因为单位四元数可以存储三维空间的旋转操作,加上其相比与欧拉角及矩阵表达方式的优势,是本系统用于存储旋转信息首选数据结构

通常使用4个浮点数表示四元数

若四元数p与q,分别存储了旋转P与Q,则p x q就表示了先旋转P在旋转Q。这里讲的乘法是与三维旋转应用有关的乘法,格拉斯曼积(Grassmann product),见公式4.5

              (4.5)

共轭四元数(公式4.6通常写成q*,定义为矢量部分求反,标量部分不变。

(4.6)

由于表示三维旋转的四元数都是单位长度的,所以这种情况下,四元数的共轭与逆是相等的,所以说逆四元数(公式4.7的计算比3x3矩阵的逆快了很多。

(4.7)

将矢量表示为四元数形式,即对于矢量,则为。因为旋转四元数都是单位长度的,因此可以使用共轭来代替逆四元数,如公式4.8所示。

(4.8)

若对旋转动画使用线性插值方法进行插值,则旋转动画不会以恒定的角速度进行的。因为其未考虑到四元数其实是四维超球上的点,所以需要使用球面线性插值(spherical linear interpolation)来得到平滑的结果,见公式4.9。

(4.9)

球面线性插值使用正弦与余弦在四维超球面的大圆上进行插值,所以插值的结果会以常数速率变化,符合系统的要求。

3.矩阵

矩阵是一种由M x N个标量组成的长方形数组。4x4矩阵可以同时表示旋转,平移,和缩放信息,是模拟程序表达物体变换数据的理想选择。下文中的矩阵都是列矩阵[13]column-major),下面的公式展示了一个3x3的列矩阵。

              (4.10)

矩阵AB的乘法表示为P=A x B,如公式4.11,若AB为变换矩阵,则P也是变换矩阵。使用P对某一点进行变换操作,等同于先用A变换,再用B变换的结果。注意矩阵的乘法不符合交换律,而且两个矩阵的内维相等时他们才可以相乘,即4x3矩阵不能相乘因为他们的内维3不等于4

              (4.11)

单位矩阵(公式4.12与任何矩阵相乘,结果都和相乘矩阵相等,而且单位矩阵是方阵,即行和列数相等。

              (4.12)

逆矩阵可以还原原始矩阵的变换,因为一个矩阵与它的逆相乘,结果必然是单位矩阵。公式4.13详细描述了逆矩阵的计算方法,此方法使用伴随矩阵辅助逆矩阵的计算。

              (4.13)

转置矩阵(公式4.14是把原来的矩阵以对角线为轴做进行反射操作,即原矩阵的行变成了列。

              (4.14)

当点或矢量从三维延伸到四维,通常称之为齐次坐标[9]。在模拟程序中,会使用4x4矩阵作为基础数据结构,因为它可以同时存储位置(公式4.15,旋转(公式4.16,缩放(公式4.17信息。在齐次坐标系中,表示位置时,通常把位置矢量的分量w设为1,而方向矢量的w设为0,因为方向矢量无需做平移操作,所以当其w0时,会抵消4x4矩阵里存储的位置变换。

              (4.15)

              (4.16)

              (4.17)

 

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