3D数学基础

发表于2015-09-25

要在计算机中模拟三维空间，就需要一些数学工具的支持，他们是进行计算机三维模拟的基础。一般情况下，为产生动画效果，需要记录空间中物体的位置，旋转，以及缩放信息，并不断改变这些值来实现此效果。

1.矢量

首先，需要一种能够存储空间位置信息的数据结构。本系统使用的是笛卡尔坐标系，即可以使用三个浮点数来表示空间中任意一点的位置，因此我选择使用三维矢量（Vector）来存储位置信息。矢量标量相乘，其效果是保留矢量的方向，同时缩放矢量的模。而三个轴上的缩放因子也可以不同，其称之为非统一缩放（nonuniform scaling）。

两个矢量a，b相加后会产生一个新的矢量，新矢量的每个分量为a与b中每个对应分量的和。用图形表示此运算的话，就是把a矢量的头连接至b矢量的尾，所得到的一个由a的尾延伸至b的头的矢量。矢量的减法等同于a与-b相加，也就是a与反转的b相加得到的结果。

矢量的模（公式4.1）是一个标量，表示矢量在空间中的长度，可以使用勾股定理计算矢量的模。

(4.1)

单位矢量标是长度为1的矢量，我们常用单位矢量表示模型表面的法线信息。

使用矢量的点积（公式4.2）可以判断两个矢量是否共线或垂直，或测试两个矢量是否大致方向相同或相反。

(4.2)

两个矢量的叉积（公式4.3）会产生一个垂直于原来两个矢量的新矢量。

(4.3)

在三维模拟程序中，常常需要实现平滑的动画效果，而游戏的模拟速度和渲染速度通常是分离的，所以在模拟时假设我们要从点A移动到点B，在fps为60的情况下，就需要计算两点间的60个中间点来渲染，才能得出平滑的动画效果，具体实现如公式4.4所示。

(4.4)

2.四元数

3x3矩阵是可以存储旋转数据的，但是其体积庞大（四元数4个浮点数，3x3矩阵9个浮点数），而且矩阵的插值计算是非常昂贵的。因为单位四元数可以存储三维空间的旋转操作，加上其相比与欧拉角及矩阵表达方式的优势，是本系统用于存储旋转信息的首选数据结构。

通常使用4个浮点数表示四元数。

若四元数p与q，分别存储了旋转P与Q，则p x q就表示了先旋转P在旋转Q。这里讲的乘法是与三维旋转应用有关的乘法，格拉斯曼积（Grassmann product），见公式4.5。

(4.5)

共轭四元数（公式4.6）通常写成q*，定义为矢量部分求反，标量部分不变。

(4.6)

由于表示三维旋转的四元数都是单位长度的，所以这种情况下，四元数的共轭与逆是相等的，所以说逆四元数（公式4.7）的计算比3x3矩阵的逆快了很多。

(4.7)

将矢量表示为四元数形式，即对于矢量，则为。因为旋转四元数都是单位长度的，因此可以使用共轭来代替逆四元数，如公式4.8所示。

(4.8)

若对旋转动画使用线性插值方法进行插值，则旋转动画不会以恒定的角速度进行的。因为其未考虑到四元数其实是四维超球上的点，所以需要使用球面线性插值（spherical linear interpolation）来得到平滑的结果，见公式4.9。

(4.9)

球面线性插值使用正弦与余弦在四维超球面的大圆上进行插值，所以插值的结果会以常数速率变化，符合系统的要求。

3.矩阵

矩阵是一种由M x N个标量组成的长方形数组。4x4矩阵可以同时表示旋转，平移，和缩放信息，是模拟程序表达物体变换数据的理想选择。下文中的矩阵都是列矩阵[13]（column-major），下面的公式展示了一个3x3的列矩阵。

(4.10)

矩阵A与B的乘法表示为P=A x B，如公式4.11，若AB为变换矩阵，则P也是变换矩阵。使用P对某一点进行变换操作，等同于先用A变换，再用B变换的结果。注意矩阵的乘法不符合交换律，而且两个矩阵的内维相等时他们才可以相乘，即4x3矩阵不能相乘因为他们的内维3不等于4。

(4.11)

单位矩阵（公式4.12）与任何矩阵相乘，结果都和相乘矩阵相等，而且单位矩阵是方阵，即行和列数相等。

(4.12)

逆矩阵可以还原原始矩阵的变换，因为一个矩阵与它的逆相乘，结果必然是单位矩阵。公式4.13详细描述了逆矩阵的计算方法，此方法使用伴随矩阵辅助逆矩阵的计算。

(4.13)

转置矩阵（公式4.14）是把原来的矩阵以对角线为轴做进行反射操作，即原矩阵的行变成了列。

(4.14)

当点或矢量从三维延伸到四维，通常称之为齐次坐标[9]。在模拟程序中，会使用4x4矩阵作为基础数据结构，因为它可以同时存储位置（公式4.15），旋转（公式4.16），缩放（公式4.17）信息。在齐次坐标系中，表示位置时，通常把位置矢量的分量w设为1，而方向矢量的w设为0，因为方向矢量无需做平移操作，所以当其w为0时，会抵消4x4矩阵里存储的位置变换。