剑英陪你玩转图形学 (三) 归去来
发表于2015-09-20
今天的主题是数学，尤其是要把向量说一说
王全安又进去了，最近不太好引用岛国文化来开篇，来点民族的。
恰逢中秋，让我想起了一首脍炙人口的水调歌头。
明月几时有，把酒问群友。
不知这次版本，今晚能出否。
我欲推倒重构，又恐项目经理，深夜对我吼。
增删改代码，好像没保存…..
深呼吸，看屏幕，泪在流。
不应有恨，谁没忘记存代码？
人有悲欢离合，码有丢失冲突，此事古难全。
但愿人长久，leader别发现。
不知这次版本，今晚能出否。
我欲推倒重构，又恐项目经理，深夜对我吼。
增删改代码，好像没保存…..
深呼吸，看屏幕，泪在流。
不应有恨，谁没忘记存代码？
人有悲欢离合，码有丢失冲突，此事古难全。
但愿人长久，leader别发现。
小伙伴们中秋都是怎么过的？有没有项目经理深吼你呢？
欢迎来德云社听相声，哦不，来听李总讲故事，好像也不对，我们是一个玩代码系列，图形学方向。
图形学是个综合学科，他的很大一部分都是3D数学。
图形学用的3D数学，客户端逻辑用的3D数学，有什么不一样的？
我不知道分界线在哪里，我只知道做游戏客户端，3D数学无处不在。
既然躲不开，就让我们来好好享受一番吧。
快速提高班现在，教大家一些快速提高自己业务（zhuangbi）水平的方法。
今天讲提高业务水平的最后一个要诀，悟。
悟是你一定要钻研出一些你自己的观点。百度搜不到的东西。
这样和别人交流业务的时候，可以极大的提高别人对你的印象。
忍、持、悟。这次已经把全套秘籍都教给你了，让我们来回顾一下。
忍：不要主动去教别人，别人有疑惑会找你，主动去教容易招致反感。
持：要有选择的回答，拿不准的东西不要乱答，提升准确性。
悟：要有自己的观点。
学会这一套，业务（zhuangbi）水平就会一发不可收拾。
现在给大家简单的介绍一下unity3D的数学库，对提升业务水平有帮助哦。
基本数学工具：
UnityEngine.Mathf 集中了float型数值计算的相关数学函数的静态类型，比如cos sin sqlr
相对System.Math 更加实用，因为我们最长使用的数据类型是float，Mathf会更方便。
UnityEngine.Random随机数产生器，和System.Random 使用方法不同，原理一样，只是静态化了，可以少写两行。
特定的数学工具:
特定的数学工具对应的数学函数就在这个类型内
Vector2 Vector3 Vector4表示向量或者顶点，他们的相关计算函数都在Vector2 Vector3 Vector4内。
比如Vector3.Cross 叉积 Vector3.Dot 点积
Rect表示一个2D矩形区域
Bounds表示一个3D的方块区域
Matrix4X4表示矩阵，矩阵用土的掉渣的方式表示一个空间变换，旋转跳跃我眯着眼。
Quaternion表示四元数，四元数用土的掉渣的方式表示一个旋转，这个我们文后会介绍。
常用的数学工具就这些，当然还有float，这个我们最最常用的数学工具。
说到数学，对很多人来说是帮助睡眠小助手。
睡前两行数学书，包你一夜好睡眠。
确实对着那些名词，是会让人混混欲睡的。
现在开始上图片。
上错图了，不好意思
阿基米德说：给我一个支点，我就能撬动地球
卡马克说：给我一个像素，我就能弄一个3D引擎
李总说：……….……….
伟人们告诉我们，要学真东西就得从零单排。
我准备了一组例子
下文所提的例子可以在线使用
http://lightszero.github.io/basemath/outweb.html
http://lightszero.github.io/basemath/outweb.html
例子代码可以从这个页面直接下载哦。
随机数有什么用
随机对应固定，产生更多自然的变化。但是随机数也是受控的，这是概率论方面的问题了，
我们准备了两个例子，一个是用随机数来求圆周率
可以用随机数来求圆周率
随机在贴图上画点，把圆内和圆外的分别统计出来，可知圆的面积是0.5*0.5*PI，正方形的面积是1*1.
则PI = 圆的面积/方的面积*4.
画的总点数可以认为是方的面积
落在圆内的点数可以认为是圆的面积
另一个是用随机数来分布角色
图中一屏幕的苍老师，是用随机数来分布的，你每次打开都会不一样。
向量向量是本篇的重点
Vector3是一个数据结构，既可以表示标量点，也可以表示一个向量。
你希望他是什么他就是什么，这也是很多小伙伴困惑的地方。
这其实是我们在编程中只关心数值所产生的一个普遍问题。
想想float，单位和功能并不在其中。
表达缩放，float可以，表达速度，float 可以，表达长度，float可以，表达时间，float可以。
赋予数据结构何等意义，是人类该考虑的问题。
对于坐标的加减法，这些自不必提，我们来厘清一下点积和叉积这两个非常重要的运算。
向量点积的意义:
还记得盟军敢死队把敌军的视野标识出来诞生的玩法么？判断我们的猪脚是否暴露在敌人的圆锥形视野中，就要依靠点积。
点积的意义主要在于求出两个向量的夹角，试想一下，夹角和视野的关系。
在shader的光照模型中，用三角面的法线和光线方向确定光强，用向量求夹角，这就是点积的意义。
关于点积我们准备了一个例子
一屏幕的苍老师，鼠标的位置表示红音老师的目光方向。
红音老师的目光范围是左右30度。
红音老师目光所及的位置苍老师是白色的，看不到的位置苍老师是红色的。
向量叉积的意义：
如果你有一队飞机，在飞行过程中想让他们保持队形，向量叉积的计算就刚好可以满足你，叉积求出和两个向量垂直的向量。
利用这个特性可以随时计算出队长的前后左右上下正方向，当然也可以按别的什么东西对齐。
在直接绘图相关的计算中，叉积的一大应用是自动计算法线。与一个三角面的任意两边垂直的向量一定与这个三角面垂直，就是这个三角面的法线。
关于叉积我们也准备了一个例子
无论红音老师看向哪个方向，红音军团总会保持阵型屹立在红音老师的周围
无论红音老师看向哪个方向，红音军团总会保持阵型屹立在红音老师的周围
插插插
插值，可以说是客户端开发中最主要的思想。
是动画的基础思想，对Vector3来说，插值有着两种截然不同的意义。
因为Vector3同时表达两种意义，作为标量他表示3D空间中的一点。
对点和点的坐标插值，就是两点间的一条直线。
延既定路线运动，基本都是对点的插值而来
作为向量Vector3表达一个方向，对方向和方向插值，就是一个旋转扇面。
比如经典的小蛤蟆，他的脸是你指哪里就转向哪里
但是作为向量时直接使用Vector3插值，会得到奇异的结果。
如图，从方向A插值到方向B，直接用Vector插值，会导致中间值的长度改变，在AB180度时，再想想这个奇异的结果。
对向量的插值，就要依靠四元数这个工具了，后文我们会顺便提一下。
向量的插值和顶点的插值，在直接绘图的计算中，有一个很典型的场合，骨骼动画。
我们也准备了一个插值的例子
在上面的基础上改为红音老师鼠标点击后才转向。
会通过插值逐渐转向
但是红音军团为了快速完成保卫任务，采用直线移动，最后会保持阵型不变。
红音军团通过坐标插值移动。
在上面的基础上改为红音老师鼠标点击后才转向。
会通过插值逐渐转向
但是红音军团为了快速完成保卫任务，采用直线移动，最后会保持阵型不变。
红音军团通过坐标插值移动。
本篇讲到这里就结束了，再会。后面捎带介绍一下其他的数学工具。
向量弄清楚了，都不是问题。
矩阵记得么，我们曾介绍过，矩阵是一个土的掉渣的数学工具
矩阵的意义是一个空间变换：旋转、跳跃、我眯着眼。
矩阵可以描述任何一种空间变换。大约有旋转、平移、缩放这些信息。
虽然矩阵，也可以描述出梯形变换和平行四边形推倒的效果，并不常用。
一个3*4矩阵内部保存了旋转、平移、缩放的参数。
可以保存一个矩阵，描述一个物体在另一个空间中的位置。
遗憾的是，矩阵并不适合于插值。
仅有平移可以直接插值。
矩阵和Vector一样，对于旋转直接数学插值会产生奇异结果。
对于缩放，矩阵也会产生一个不明显的错误。
如果模型进行xy轴不均匀的缩放，那么同一个矩阵并不适合这个模型的法线，会导致法线和表面不再垂直。
这也是为什么光照模型中要使用逆转置矩阵的原因。
四元数四元数也是一个土的掉渣的描述工具，他描述的信息叫做轴角对。
轴角对，就是一个旋转轴，加一个旋转角度。
设轴向量为n，旋转角度为t
四元数的值为：
x = n.x * sin(t / 2)
y = n.y * sin(t / 2)
z = n.z * sin(t / 2)
w = cos(t / 2)
四元数的值为：
x = n.x * sin(t / 2)
y = n.y * sin(t / 2)
z = n.z * sin(t / 2)
w = cos(t / 2)
至于超复数那套解释，知道一下用于提升业务（zhuangbi）水平就行了。
其实四元数这么存，只是为了四元数乘法直接得到两个旋转连接后得到的新的轴角对。
四元数这样保存，可以让四元数乘法直接变成旋转连接工具。
红色的q1表示一个旋转，绿色的q2表示一个旋转，他们的乘法结果就是蓝色的q3。
四元数表达的信息是一个旋转变换，可以直接存一个四元数作为物体的旋转量。
另外插入一点个人的意见，也许满是无知与偏见，听一下就行了：
四元数发明于1843年，图形学诞生于1963年，可是1985年四元数才被用于表达旋转并逐渐推广。
用于图形学中的四元数，最重要的价值就是轴角对的一种计算工具。
我对超复数、非零四元数乘法环共轭作用实现转动那套并不信服，就像是马后炮一样。
如早认识到非零四元数乘法环共轭作用实现转动，又怎么会花了二十几年才找到一个表达旋转的适合方法。
插插插四元数对于旋转的描述就是旋转轴+角度，没有比他更适更针对旋转插值的了。
骨骼动画中对于骨骼旋转的插值计算，都是使用四元数插值的。
区域区域就是包围盒
有两种常用的形式
Axis Aligned Bounding Box
oriented bounding box
AABB 轴对齐包围盒。
OBB 定向包围盒。
是为了简化碰撞和包围测试的一种方法。将一堆东西包在一个盒子里
我找到一张图，说明的很形象，把小人包起来，判断小人在不在一个区域，判断他的盒子就快的多。
OBB是小人在自己空间中的盒子，他不随小人的旋转跳跃而变化。
AABB是小人在世界空间中的盒子，小人旋转就要重新生成。
除了碰撞盒，还有其他常用的包围形式
2D的Rect
3D的OBB AABB 还有碰撞球，胶囊体等等。